Calculadora de MCD y mcm (con el procedimiento)

Calcular el MCD y el mcm de dos o más números

El MCD (máximo común divisor) es el mayor número que divide a la vez a todos los números dados; el mcm (mínimo común múltiplo) es el menor número que es múltiplo de todos ellos. Esta calculadora obtiene los dos de una vez, para 2 a 10 números, y sobre todo muestra el procedimiento: la descomposición en factores primos y las divisiones del algoritmo de Euclides, tal como se piden en clase de matemáticas.

• Simplificar fracciones: se dividen el numerador y el denominador entre su MCD.
• Sumar fracciones: el mínimo común denominador es el mcm de los denominadores.
• Problemas de reparto: hacer el mayor número de lotes iguales con 84 caramelos y 60 chicles (MCD), o saber cuándo volverán a coincidir dos autobuses que salen juntos (mcm).
• Comprobar los deberes: comparar tu procedimiento con el de la calculadora.

Método 1: descomposición en factores primos

Se escribe cada número como producto de números primos: 84 = 2² × 3 × 7 y 60 = 2² × 3 × 5.

• El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente: 2² × 3 = 12.
• El mcm es el producto de todos los factores con su mayor exponente: 2² × 3 × 5 × 7 = 420.

Método 2: algoritmo de Euclides

Se divide el número mayor entre el menor, después el divisor entre el resto, y así sucesivamente hasta que el resto sea cero. El MCD es el último divisor, es decir, el último resto distinto de cero.

El resto se anula al dividir entre 12: MCD(84 ; 60) = 12. Con dos números, el mcm sale de la relación MCD × mcm = a × b: mcm = 84 × 60 ÷ 12 = 420. Con tres números o más se encadena: MCD(84 ; 60 ; 36) = MCD(MCD(84 ; 60) ; 36) = MCD(12 ; 36) = 12.

El algoritmo de Euclides es muy rápido incluso con números grandes, mientras que la descomposición se alarga cuando los factores primos son grandes. La calculadora muestra los dos métodos para que uses el que te pidan.

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí cuando su MCD es 1, como 8 y 15: no tienen ningún divisor común aparte del 1. Su mcm es entonces su producto (8 × 15 = 120), y una fracción cuyo numerador y denominador son primos entre sí es irreducible. Para simplificar o sumar fracciones paso a paso, usa nuestra calculadora de fracciones.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el MCD de dos números?

Con el algoritmo de Euclides: divide el mayor entre el menor, repite con el divisor y el resto hasta obtener resto cero. El último divisor es el MCD.

¿Cómo se calcula el mcm rápidamente?

Para dos números, multiplícalos y divide el producto entre su MCD. Para más de dos, toma todos los factores primos con su mayor exponente.

¿Cuál es el MCD de dos números primos?

Dos números primos distintos siempre tienen MCD 1 y su mcm es su producto.

¿Puede el MCD ser igual a uno de los números?

Sí, cuando ese número divide a todos los demás: MCD(12 ; 36) = 12, y el mcm es el mayor, 36.