Calcul du PGCD et du PPCM (avec la méthode)

Calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres ou plus

Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand nombre qui divise à la fois tous les nombres donnés ; le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit nombre qui est un multiple de chacun d'eux. Ce calculateur trouve les deux en une fois, pour 2 à 10 nombres, et surtout il montre la méthode : décomposition en facteurs premiers et divisions successives de l'algorithme d'Euclide, comme on les attend dans une copie de collège ou de lycée.

• Simplifier une fraction : on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
• Additionner des fractions : le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs.
• Problèmes de partage : faire le plus grand nombre de lots identiques avec 84 billes et 60 calots (PGCD), ou savoir quand deux bus partis ensemble repasseront en même temps (PPCM).
• Vérifier ses devoirs : comparer son calcul pas à pas avec celui de l'outil.

Méthode 1 : la décomposition en facteurs premiers

On écrit chaque nombre comme un produit de nombres premiers : 84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5.

• Le PGCD est le produit des facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant : 2² × 3 = 12.
• Le PPCM est le produit de tous les facteurs, chacun avec son plus grand exposant : 2² × 3 × 5 × 7 = 420.

Méthode 2 : l'algorithme d'Euclide

On divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier diviseur utilisé, autrement dit le dernier reste non nul.

Le reste devient nul quand on divise par 12 : PGCD(84 ; 60) = 12. Pour deux nombres, on en déduit le PPCM grâce à la relation PGCD × PPCM = a × b : PPCM = 84 × 60 ÷ 12 = 420. Pour trois nombres ou plus, on enchaîne : PGCD(84 ; 60 ; 36) = PGCD(PGCD(84 ; 60) ; 36) = PGCD(12 ; 36) = 12.

L'algorithme d'Euclide est très rapide, même pour de grands nombres, alors que la décomposition devient longue quand les nombres ont de grands facteurs premiers. Ce calculateur affiche les deux méthodes : choisissez celle demandée par votre professeur.

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1, comme 8 et 15 : ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Leur PPCM est alors simplement leur produit (8 × 15 = 120), et une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux est irréductible. Pour simplifier ou additionner des fractions avec les étapes détaillées, utilisez notre calculatrice de fractions.

Questions fréquentes

Comment calculer le PGCD de deux nombres ?

Avec l'algorithme d'Euclide : divisez le plus grand par le plus petit, recommencez avec le diviseur et le reste, jusqu'à un reste nul. Le dernier diviseur est le PGCD.

Comment trouver le PPCM rapidement ?

Pour deux nombres, multipliez-les et divisez le produit par leur PGCD. Pour plus de deux nombres, prenez tous les facteurs premiers avec leur plus grand exposant.

Quel est le PGCD de deux nombres premiers ?

Deux nombres premiers différents ont toujours 1 pour PGCD, et leur produit pour PPCM.

Le PGCD peut-il être égal à l'un des nombres ?

Oui, quand ce nombre divise tous les autres : PGCD(12 ; 36) = 12, et le PPCM vaut alors le plus grand, 36.